Keresés

Miért vagytok ennyire konvex barmok ? Vegyetek egy villanytan könyvet abban érthetően benne van. Én is le tudtam belőle vizsgázni és kurvára nem zavart a nabla operátor. Mondjatok valami példát a valós életből ha lehet...

F_n,_l=exp(-ró/n)/ró  szumma{k=l+1-től n-ig}(a_kró^k)

ahol l a mágneses kvantumszám,n pedig a főkvantumszám,k pedig a futóindex).

Az a_k együtthatók közötti rekurziós összefüggés:

a_k+1=2(k/n -1)/(k(k+1)-l(l+1)) a_k.

 

Ha l=0,gömbszimmetrikus esetben:a_k+1=2(k/n -1)/k(k+1) a_k.

Ekkor F_n,₀=exp(-ró/n)/ró szumma{k=1-től n-ig}(a_kró_k).

 

n=1,l=0

 

F₁,₀=exp(-ró)

 

n=2,l=0

 

F₂,₀=(1-ró/2)exp(-ró/2)

 

n=3,l=0

 

F₃,₀=(1-2ró/3+2/27ró^₂)

 

n=2,l=1

 

F₂,₁=exp(-ró/2)

 

n=3,l=1

 

F₃,₁=exp(-ró/4)(1-2ró/12)

 

n=4,l=1

 

F₄,₁=exp(-ró/4)(1-ró/4-2ró²/40)

 

ha l=1 és m=1 akkor a hullámfüggvény szögfüggő része gömbfüggvény:

Y₁,₁=-1/gyök2 sin(deta)exp(i fi).

Ha  hidrogén n=2,l=1 és m=1 kvantumszámú elektronhéjának teljes hullámfüggvénye:F₂,₁(r), Y₁,₁(deta,fi)

pszi₂,₁,₁(r,deta,fi)=F₂,₁   Y₁,_1⁼-exp(-ró/2)/gyök2 sin(deta)exp(i fi).

F₁=exp(-ró)

F₂=(1-(ró)/2)exp(-ró/2)

F₃=(1-(2 ró)/3+2/27 ró2)exp(-ró/3)

.

.

.

stb.

 

ró=m²r/(4 pi epszilon₀ hvonás²)

 

Ezek csak l=0ra vagyis gömszimmetrikus elektronpályákra érvényes.Nem gömbszimetrikus elektronhéjaknál F nemcsak n-től,hanem l-től is függ.És a szummázás nem 1-től n-ig,hanem l+1-től n-ig tart.

A hidrogénatom esetén nem a Descartes-féle (x,y,z) koordinátákat használják,hanem a polárkoordinátákat(r,fi,deta).Ezek a kordináták jobban illeszkednek az atomok centrális erőteréhez.Ugyanis a hidrogénatom potenciálja centtrális,vagyis sugárírányú elektromágneses erőteret ír le.

Térjünk át polárkoordinátákba:

x=r sin(deta)cos(fi),y=rsin(deta)sin(fi),z=rcos(deta)

Ezekben a koordunátákban:

Laplace pszi=1/r d²/dr²(r pszi)+1/r²(1/sin(deta) d/d(deta)(sin{deta}df/d(deta))+1/sin²{deta}d²/dfi²)

 

A hidrogénatom potenciáloperátora:V(r,fi,deta)=e²/(4 pi epszilon₀ r).

 

Így a hidrogénatom Schrödinger-egyenlete:

1/r d²/dr²(r pszi)+1/r²(1/sin{deta} d/d(deta) (sin(deta) d(pszi)/d(deta))+1/sin²(deta)2 d(pszi)²/d(fi)²)=-2m/hvonás2 (E+e2/4 pi epszilon0 r)

 

Ez egy sajátérték egyenlet,E az adott energiaszinthez tartozó állapot energiája.

E =E₀ 1/n²,ahol E₀=13,6 eV,vagyis az alapállapot energiája.A Bohr.modell is ezt az eredményt adja.

A hidrogénatom (n,l,m) állapotához tartozó hullámfüggvénye:

pszi n,l,m(r,fi,deta)=Yl,m(fi,deta) Fn(r).

Yl,m(fi,deta) az l,m mellék-és mágneses kvantumszámú állapothoz tartozó gömbfüggvény,ami a polárszögfüggését fejezi ki a hullámfüggvénynek,Fn(r) pedig az n főkvantumszámhoz állapothoz Laguerre-polinom ami a sugártól való függését fejezi ki a hullámfüggvénynek.

 

Y_0,0=1/gyök(4pi)(ez jól van még normál a többi nem)

Y_1,1=-1/gyök2 sin(deta)exp(i fi)

Y_1,0=cos(deta)

Y_1,-1=1/gyök 2 sin(deta)exp(-i fi)

Y_2,2=gyök6/4 sin²(deta)exp(2i fi)

Y_2,1=gyök6/2 sin(deta)cos(deta)exp(i fi)

Y_2,0=1/2 (3 cos²(deta)-1)

Y_2,-1=-gyök6/2 sin(deta)cos(deta)exp(-i fi)

Y_2,-2=-gyök6/4 sin²(deta)exp(-2i fi)

.

.

.

stb.

 

F₁=exp(-ró)

F₂=(1-(ró)/2)exp(-ró/2)

F₃=(1-(2 ró)/3+2/27 ró2)exp(-ró/3)

.

.

.

stb.

 

ró=m²r/(4 pi epszilon₀ hvonás²)

 

Ilyenkor a pályamomentum gyök{l(l+1)}hvonás.A Bohr-Sommerfeld modell szerint l szer hvonás.A megoldás az,hogy ha hengerszimmetrikus potenciáló térre számítanánk ki a Schrödinger-egyenletet,ahol az (x,y,z) koordináták helyett hengerkoordinátákat (r,fi,z) használnánk akkor arra kijön,hogy síkmozgást végző részecske pályamomentuma hvonás szor l.

A p vektor=hvonás/i szer nabla operátor=hvonás/i (d/dx,d/dy,d/dz).A deriváltak mindenhol parciális deriváltaknak felelnek meg.

Fontos,hogy ennek az impulzusnak nem a klasszikus mechanikai mv impulzus(mv-impulzus),hanem a térelméleti p=mv+qA  impulzus felel meg(p-impulzus),ahol az A az adott erőtér vektorpotenciálja.Szóval ebből is látszik,hogy a kvantummechanika éppúgy térelmélet,mint az áramlástan.

Az elektromágnességtan lineáris.Miért?Mert lineárisan független bázisállaotokra van osztva.Az áramlástan általában nem lineáris,mert ott nem botják fel a teljes állapotot bázisállapotokra.Bár mondjuk lineáris áramlásoknál,amikor egy henger körüli jellegzetes áramlást síkáramlásra és dipóláramlásra osztják,akkor szerintem ezt teszik,elegendő megszámlálhatóan végessok állapotra osztani a teljes állapotot.Csak nem lineáris esetben kontinuumvégtelensok ilyen bázisállapotot kell keresni.

A W a potenciális energia OPERÁTORA.De V-vel kellett volna írnom.A lendületoperátor-kompenensek:

p_x=hvonás/i d/dx

p_y=hvonás/i d/dy

p_z=hvonás/í d/dz

 

Ezek differenciáloperátorok.

 

A mozgási energia OPERÁTORA ezekből rakható össze:

Ekin=p_x²+p_y²+p_z²/2m=-hvonás2/2m(d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²)

 

A Hamilton-operátor a klasszikus mechaninkából ismert hamilton-függvény kvantumos megfelelője.A Hamilton operátor konzervatív,időfüggetlen rendszerek esetén a mozgási és a helyzeti energia összege.A kvantimmechanikai testvére,vagyis a Hamilton-operátor(gyakran energiaoperátornak hívják) a mozgási energia operátorának és a potenciális energia operátorának az összege:

H=Ekin+V(x,y,z)=-hvonás²/2m(d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²)+V(x,y,z)

 

Ezekkel az időfüggetlen nemrelativisztikus Schrödinger-egyenlet:

i hvonás d(pszi{x,y,z})/dt=-hvonás²/2m(d²pszi{x,y,z}/dx²+d²pszi{x,y,z}/dy²+d²pszi{x,y,z}/dz²)+V(x,y,z)pszi{x,y,z}

 

A "W"az mit akar jelenteni? A lendületkomponenseket nem látom!

d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²-d²/c²dt²

 

Arra gondoltam,hogy biztos az időfüggő algebrai Hamilton operátor Laplace-operátora helyett biztos d'Alembert operátor lehet.De ez nem biztos.

De a többi képletek szerintem jók.

 

H(x,x',y,y',z,z',t,t')=bra(x,y,z,t)H_ijket(x',y',z',t')={-(hvonás²/2m)(d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²-d²/c²dt²)+W(x,y,z,t)} szor Dirac-delta(x-x',y-y',z-z',t-t')

 

Ez nem biztos,hogy jó!

számomra pont annyira érthető, mint képletekkel.

időfüggetlen esetben:

i/hvonás d{pszi(x,y,z,t)}/dt=integrál{H(x,x',y,y',z,z',) pszi(x',y',z',t')dx'dy'dz'dt'

 

H(x,x',y,y',z,z')=bra(x,y,z)H_ijket(x',y',z')={-(hvonás²/2m)(d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²)+W(x,y,z,t)} szor Dirac-delta(x-x',y-y',z-z',t-t')

 

d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²=Laplace-operátor,ami nabla szor nabla

Ezt a képletet kontinuum végtelensok bázisállapot esetén kell használni.

 

Megszámlálhatóan sok bázisállapot esetén:

i/hvonás d(bra{pszi}ket{i})/dt=szumma H_ij bra{pszi}ket{j}

 

{i} és {j} a bázisvegtorok,{pszi} ateljes állapot,ami a bázisvektorok lineáris kombinációja.

 

 

i d{pszi(x,y,z,t)}/dt=integrál{H(x,x',y,y',z,z',t,t') pszi(x',y',z',t')dx'dy'dz'dt'

 

H(x,x',y,y',z,z',t,t')=bra(x,y,z,t)H_ijket(x',y',z',t')={-(hvonás²/2m)(d²/dx²+d²/dy²+d²/dz²-d²/c²dt²)+W(x,y,z,t)} szor Dirac-delta(x-x',y-y',z-z',t-t')

 

nem relativisztikus közelítésben

 

 

A képletek kitranszformálódtak a szövegből... :)

ahol és

H-t Hamilton függvény.

A kvantummechanikában ez a Schrödinger-féle energiasajátérték-egyenletet :

Ami szolgálatunkra van abban, hogy meghatározzuk az előforduló lehetséges energiaértékeket egy mérés során. Az impulzushoz, mint fizikai mennyiséghez rendelhető operátor:

Ebből következően: ,

 

ez ugye a "nabla" operator a skalár és

vektorterek differenciálszámítási

problémáihoz:

          ahol

Így a Schrödinger-egyenlet a következő alakot ölti:

Ezt az egyenlet az időfüggetlen Schrödinger-egyenletnek.

 

 

 

Még Veszely Gyula meg az öreg Simonyi prof. ("a" Simonyi apukája) tanították nekem egyetemen. Szerintem tök jó, le tudtam belőle vezetni az EM tér minden furfangját. 

Szerintem nem sok értelme van komplett elméleteket egy fórum topicban leírni. Erre rövid formában ott a Wikipedia, hosszabban meg a fizika könyvek.

A fórum inkább arra alkalmas, hogy egyes konkrét részletkérdéseket tárgyaljunk ki, pl. ha valami nem világos, ellentmondásosnak tünik az elméletben stb.

bocs: "érdeklődve, türelmesen"

...hát, én érdeklődve,türelmesen várok, mert érdekelne...

Nekem egy okos ember egyszer mondott már erről valamit, csak már nem emlékszem, hogy kicsoda és nem emlékszem, hogy mit!:)

Én csak a macskájáról hallottam... ;-)

Érti valaki itt ? Hamilton operátor és
minden amit a Schrödinger egyenletről tudni kell.